کاربردهای توابع پایه ای شعاعی در تقریب ‏جواب معادلات دیفرانسیل

تحقیقات اخیر روی روشهای عددی‏، بر ایده استفاده از روشهای بدون شبکه‎{meshfree methods}‎ برای حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی تاکید‏ می کند. یکی از ویژگی های رایج همه روشهای بدون شبکه، توانایی آنها در ساخت تقریب تابع، تنها با استفاده از اطلاعاتی در یک مجموعه از داده های پراکنده می باشد. تعدادی از روشهای بدون شبکه عبارتند از: روش هیدرودینامیکهای ذره ی هموار‎{smooth particle hydrodynamics method} ‎، روش المان پراکنده‎{diffuse element method} ‎، روش گلرکین المان آزاد‎{element-free galerkin method} ‎، روش هسته باز سازنده‎{reproducing kernel particle method} ‎، روش افراز واحد‎{partition of unity method} ‎، روش {hp-clouds} ، روش پترو-گلرکین موضعی بدون شبکه{meshless local petrov–galerkin method} ، روش تفاضلات متناهی ‎{ ‎f‎inite differences} ‎، روش پترو-گلرکین موضعی بدون شبکه مستقیم‎{direct meshless local petrov–galerkin method} ‎} و روش معادله انتگرال مرزی تقابل دوگانی ‎{dual reciprocity boundary integral method} ‎.‎ در چند سال اخیر گروه دیگری از روشهای بدون شبکه که بر اساس توابع پایه ای شعاعی تولید می شوند، برای حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی توجه بیشتری را به خود جلب کرده اند. در ابتدا توابع پایه ای شعاعی برای درونیابی داده ها ‏در توابع چندمتغیره مطرح شدند. به هر حال، ویژگی بدون شبکه بودنشان انگیزه ای شد تا محققان از آنها برای حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی استفاده کنند. کانزا‎{e.‎ ‎j‎. ‎kansa} ‎، اولین کسی بود که از این توابع برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی استفاده کرد ‏و نام روش خود را توابع پایه ای شعاعی سراسری‎‏‎globally radial basis function‎}‎} نامید‎‎. چون ماتریس ضرایب روش کانزا متقارن نبود لذا فشیئور‎{g.‎ ‎e‎. ‎fasshauer} ‎ روش نوع هرمیت را برای تضمین تقارن ماتریس ضرایب ارائه کرد. ماتریس ضرایب متقارن، حل پذیری معادلات خطی مربوطه را تضمین می کند. ‎‏روش‎ های کانزا و فشیئور به طور مستقیم عبارتی از تقریب تابع بوسیله توابع پایه ای شعاعی را در معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی جایگزین می کنند. اما شو ‎{shu}‎‎‎‏ و همکاران در سال 2003‏ میلادی نوع دیگری از روش های مبتنی بر ‎{rbf}‎‏ را با بهره گیری از ایده انتگرال گیری دیفرانسیلی {differential quadrature}‎‎مطرح کردند ‏و نام آن را انتگرال گیری دیفرانسیلی بر اساس توابع پایه ای شعاعی برگزیدند. بر خلاف روش کانزا این روش مشتق تابع در یک نقطه را بوسیله ترکیب خطی از همه مقادیر تابع در کل دامنه تقریب می زند. هر دو روش در کنار مزیت های زیادی که دارند، دارای معایبی نیز می باشند که استفاده عملی از آنها را دچار مشکل کرده است. عددحالت ماتریس درونیاب این روش ها با افزایش تعداد نقاط گرهی به سرعت رشد می کند. همچنین، هزینه محاسبات این روش برای مسائل بزرگ بسیار زیاد است. برای رفع این مشکلات تکنیکهای متعددی ارائه شد که یکی از آنها استفاده از روشهای موضعی براساس توابع پایه ای شعاعی می باشد. یکی از روشهای موضعی، روش انتگرالگیری دیفرانسیلی موضعی براساس توابع پایه ای شعاعی می باشد که توسط خود شو در همان سال 2003 ارائه شد. این روش در واقع مشتق تابع در یک گره بصورت یک ترکیب خطی از مقادیر تابع در گرههای مجاور گره مورد نظر بیان می شود. همچنین برای کاهش عدد حالت ماتریس درونیاب اخیراً خانم پازوکی به همراه شابک‎‎{schaback} ‎‎‏ تکنیک تغییر پایه را مطرح کردند‎‎‎‎‎ . در ادامه این فصل به بیان تعاریف اولیه می پردازیم. در فصل دوم جنبه های مختلف توابع پایه ای شعاعی برای تقریب تابع را مورد بررسی قرار می دهیم. در فصل سوم اصول روش های مبتنی بر توابع پایه ای شعاعی برای حل معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی ارائه می گردد. پیاده سازی این روش ها برای حل عددی معادله ساین گوردون‎‎{sine-gordon}‎‎‏ در فصل چهارم بررسی و نتایج عددی تحلیل می شوند. نتیجه گیری در فصل پنجم مطرح می شوند.